Área de una Superficie de Revolución: Ejercicios resueltos

lunes, 25 de abril de 2016

Ejercicios resueltos

A continuación una serie de ejercicios resueltos y explicados por pasos.

Ejercicio 1

La curva $y= \sqrt{4-x^{2}}$ , $-1\leq x \leq 1$ , es un arco del círculo $x^{2}+y^{2} = 4$ .

Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X".

Entonces, sabemos que y' sería;

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}= \frac{1}{2}(4-x^{2})^{\frac{-1}{2}}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}$
entonces nos queda que;
$S= \int_{-1}^{1} 2\pi y \sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}})^{2} dx$

$S= 2\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^{2}} \sqrt{1+\frac{x^{2}}{4-x^{2}}} dx$

$S= 2\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^{2}} \frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}} dx$

$S=4\pi \int_{-1}^{1} dx= 4\pi(2)=8\pi$

Ejercicio 2

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

$y = x^3$ $0\leq x\leq 2$

$y = x^3$ => $y'=3x^2$

Entonces:

$S = \int_{0}^{2}2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx = 2\pi\int_{0}^{2}x^3\sqrt{1+9x^4}dx$

Hacemos las respectivas sustituciones:

$u=1+9x^4$ y $du=36x^3dx$

$= \frac{2\pi}{36}\int_{1}^{145}\sqrt{u}du=\frac{\pi}{18}\left [ \frac{2}{3}u^{3/2} \right ]_{1}^{145}\textrm{}$

Simplificamos;

$\frac{\pi}{27}(145\sqrt{145}-1)$

Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:

$203U$

Ejercicio 3

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

$y=cos 2x$ ; $0\leq x\leq \pi/6$

$y=cos 2x$ => $ds=\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}dx$ = $\sqrt{1+(-2sen2x)^2}dx$

Entonces;

$S= \int_{0}^{\pi /6}2\pi cos 2x\sqrt{1+4sen^22x}dx$

De una vez hacemos las sustituciones;

$u=2sen2x$ Y $du=4cos 2xdx$

=> $2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+u^2}(1/4)$

=> $=\frac{\pi}{2}\left [ \frac{1}{2}u\sqrt{1+u^2}+\frac{1}{2}Ln\left ( u+\sqrt{1+u^2} \right ) \right ]_{0}^{\sqrt{3}}\textrm{}$

=> $\frac{\pi}{2}\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}Ln\left ( \sqrt{3}+2 \right ) \right ]$

Finalmente, nuestro resultado sería:

$\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{4}Ln(2+\sqrt{3})$

Lo que aproximadamente corresponde a: $3.755u$

Ejercicio 4

Sea C la curva descrita por la ecuación

desde y = 1 a y = 2. Calcule el área de la superficie de revolución que se genera al girar C alrededor de y = 3.

Ejercicio 5

Calcule el área de la superficie de la curva generada al girar, alrededor del eje x, la porción de la curva y^2 = |4 + x| , −10 ≤ x ≤ 2.

Finalmente un par de vídeos donde se resuelven ejercicios de este tipo, por dos casos distintos:

Caso 1

Caso 2

Referencias:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=%C3%81rea_de_una_superficie_de_revoluci%C3%B3n

Cálculo II. José Luis Quintero. 2011. Aplicaciones de la integral definida.

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