lunes, 25 de abril de 2016

Ejercicios resueltos

A continuación una serie de ejercicios resueltos y explicados por pasos.

Ejercicio 1


La curva  y= \sqrt{4-x^{2}} , -1\leq x \leq 1 , es un arco del círculo x^{2}+y^{2} = 4.

Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X".

Entonces, sabemos que y' sería;
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}= \frac{1}{2}(4-x^{2})^{\frac{-1}{2}}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}
entonces nos queda que;

 S= \int_{-1}^{1} 2\pi y \sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}})^{2} dx

 S= 2\pi \int_{-1}^{1}  \sqrt{4-x^{2}} \sqrt{1+\frac{x^{2}}{4-x^{2}}} dx

 S= 2\pi \int_{-1}^{1}  \sqrt{4-x^{2}} \frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}} dx

S=4\pi \int_{-1}^{1} dx= 4\pi(2)=8\pi

Ejercicio 2

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.
y = x^30\leq x\leq 2
y = x^3=>y'=3x^2
Entonces:
S = \int_{0}^{2}2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx = 2\pi\int_{0}^{2}x^3\sqrt{1+9x^4}dx
Hacemos las respectivas sustituciones:
u=1+9x^4ydu=36x^3dx
= \frac{2\pi}{36}\int_{1}^{145}\sqrt{u}du=\frac{\pi}{18}\left [ \frac{2}{3}u^{3/2} \right ]_{1}^{145}\textrm{}
Simplificamos;
\frac{\pi}{27}(145\sqrt{145}-1)
Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:
203U

Ejercicio 3


Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.
y=cos 2x;0\leq x\leq \pi/6
y=cos 2x=>ds=\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}dx=\sqrt{1+(-2sen2x)^2}dx
Entonces;
S= \int_{0}^{\pi /6}2\pi cos 2x\sqrt{1+4sen^22x}dx
De una vez hacemos las sustituciones;
u=2sen2xYdu=4cos 2xdx
=>2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+u^2}(1/4)
=>=\frac{\pi}{2}\left [ \frac{1}{2}u\sqrt{1+u^2}+\frac{1}{2}Ln\left ( u+\sqrt{1+u^2} \right ) \right ]_{0}^{\sqrt{3}}\textrm{}
=>\frac{\pi}{2}\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}Ln\left ( \sqrt{3}+2 \right ) \right ]
Finalmente, nuestro resultado sería:
\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{4}Ln(2+\sqrt{3})
Lo que aproximadamente corresponde a:3.755u

Ejercicio 4

Sea C la curva descrita por la ecuación
desde y = 1 a y = 2. Calcule el área de la superficie de revolución que se genera al girar C alrededor de y = 3.

Ejercicio 5

Calcule el área de la superficie de la curva generada al girar, alrededor del eje x, la porción de la curva y^2 = |4 + x| , −10 ≤ x ≤ 2.


Finalmente un par de vídeos donde se resuelven ejercicios de este tipo, por dos casos distintos:

Caso 1




Caso 2






Referencias:
Cálculo II. José Luis Quintero. 2011. Aplicaciones de la integral definida.

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