Área de una Superficie de Revolución: Aplicaciones y cálculo de las superficies de revolución

Aplicaciones y usos

Superficie de revolución generada
de manera digital (forma: vasija)

Las superficies de revolución tienen usos diversos y esenciales en los campos de la física y la ingeniería, ayudándonos a comprender mejor el estudio de las formas y los movimientos que estas puedan realizar. También poseen un uso importante en el diseño cuando se dibujan objetos digitalmente, las superficies de los mismos pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto. En la alfarería y el torneado industrial, se suele trabajar moldeando y modelando volúmenes con varias superficies de revolución, las cuales son de gran utilidad y uso cotidiano.

¿Cómo calcular el área de una superficie de revolución?

Si la curva está definida por las funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral

A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt

siendo x(t) siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función y=f(x), la integral se transforma en

A=2\pi\int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx,\ \mbox{para} \qquad x_1=x(t=a), \mbox{y} x_2=x(t=b)

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y en

A=2\pi\int_{y_1}^{y_2} x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy,\ \mbox{para} \qquad y_1=f(x_1), \mbox{y} y_2=f(x_2)

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva x(t) = cos(t) y y(t) = sen(t) cuando t toma valores en el intervalo [0.π]. Su área, por tanto, será

A = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi

Ejemplos:

1) La curva y = √(4-x²), -1≤x≤1 es un arco del círculo x²+y²=4. Calcule el área de la superficie generada al rotar ese arco alrededor del eje x.

Tenemos:

2) Dada la función y = x²en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el área de la superficie generada.

Tenemos:

Aplicamos el cambio de variable:

Cambiamos a y b por la función dentro de la longitud del arco:

A continuación, un par de vídeos para facilitar la comprensión del contenido, en ellos se explican los principios del cálculo de superficies de revolución, sus fórmulas y ejemplos de las mismas.

Fuentes:

https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n

http://es.slideshare.net/WARRIOR2278/area-de-una-superficie-de-revolucion

Área de una Superficie de Revolución

martes, 22 de marzo de 2016

Aplicaciones y cálculo de las superficies de revolución

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