Área de una Superficie de Revolución

lunes, 25 de abril de 2016

Ejercicios resueltos

A continuación una serie de ejercicios resueltos y explicados por pasos.

Ejercicio 1

La curva $y= \sqrt{4-x^{2}}$ , $-1\leq x \leq 1$ , es un arco del círculo $x^{2}+y^{2} = 4$ .

Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X".

Entonces, sabemos que y' sería;

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}= \frac{1}{2}(4-x^{2})^{\frac{-1}{2}}(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}$
entonces nos queda que;
$S= \int_{-1}^{1} 2\pi y \sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}})^{2} dx$

$S= 2\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^{2}} \sqrt{1+\frac{x^{2}}{4-x^{2}}} dx$

$S= 2\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{4-x^{2}} \frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}} dx$

$S=4\pi \int_{-1}^{1} dx= 4\pi(2)=8\pi$

Ejercicio 2

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

$0\leq x\leq 2$

Entonces:

$S = \int_{0}^{2}2\pi y\sqrt{1+(y')^2}dx = 2\pi\int_{0}^{2}x^3\sqrt{1+9x^4}dx$

Hacemos las respectivas sustituciones:

$= \frac{2\pi}{36}\int_{1}^{145}\sqrt{u}du=\frac{\pi}{18}\left [ \frac{2}{3}u^{3/2} \right ]_{1}^{145}\textrm{}$

Simplificamos;

$\frac{\pi}{27}(145\sqrt{145}-1)$

Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:

Ejercicio 3

Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

; $0\leq x\leq \pi/6$

=> $ds=\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}dx$ = $\sqrt{1+(-2sen2x)^2}dx$

Entonces;

$S= \int_{0}^{\pi /6}2\pi cos 2x\sqrt{1+4sen^22x}dx$

De una vez hacemos las sustituciones;

=> $2\pi \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+u^2}(1/4)$

=> $=\frac{\pi}{2}\left [ \frac{1}{2}u\sqrt{1+u^2}+\frac{1}{2}Ln\left ( u+\sqrt{1+u^2} \right ) \right ]_{0}^{\sqrt{3}}\textrm{}$

=> $\frac{\pi}{2}\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}Ln\left ( \sqrt{3}+2 \right ) \right ]$

Finalmente, nuestro resultado sería:

$\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{4}Ln(2+\sqrt{3})$

Lo que aproximadamente corresponde a: 3.755u

Ejercicio 4

Sea C la curva descrita por la ecuación

desde y = 1 a y = 2. Calcule el área de la superficie de revolución que se genera al girar C alrededor de y = 3.

Ejercicio 5

Calcule el área de la superficie de la curva generada al girar, alrededor del eje x, la porción de la curva y^2 = |4 + x| , −10 ≤ x ≤ 2.

Finalmente un par de vídeos donde se resuelven ejercicios de este tipo, por dos casos distintos:

Caso 1

Caso 2

Referencias:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=%C3%81rea_de_una_superficie_de_revoluci%C3%B3n

Cálculo II. José Luis Quintero. 2011. Aplicaciones de la integral definida.

martes, 22 de marzo de 2016

Aplicaciones y cálculo de las superficies de revolución

Aplicaciones y usos

Superficie de revolución generada
de manera digital (forma: vasija)

Las superficies de revolución tienen usos diversos y esenciales en los campos de la física y la ingeniería, ayudándonos a comprender mejor el estudio de las formas y los movimientos que estas puedan realizar. También poseen un uso importante en el diseño cuando se dibujan objetos digitalmente, las superficies de los mismos pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto. En la alfarería y el torneado industrial, se suele trabajar moldeando y modelando volúmenes con varias superficies de revolución, las cuales son de gran utilidad y uso cotidiano.

¿Cómo calcular el área de una superficie de revolución?

Si la curva está definida por las funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral

A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt

siendo x(t) siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función y=f(x), la integral se transforma en

A=2\pi\int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx,\ \mbox{para} \qquad x_1=x(t=a), \mbox{y} x_2=x(t=b)

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y en

A=2\pi\int_{y_1}^{y_2} x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy,\ \mbox{para} \qquad y_1=f(x_1), \mbox{y} y_2=f(x_2)

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva x(t) = cos(t) y y(t) = sen(t) cuando t toma valores en el intervalo [0.π]. Su área, por tanto, será

A = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi

Ejemplos:

1) La curva y = √(4-x²), -1≤x≤1 es un arco del círculo x²+y²=4. Calcule el área de la superficie generada al rotar ese arco alrededor del eje x.

Tenemos:

2) Dada la función y = x²en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el área de la superficie generada.

Tenemos:

Aplicamos el cambio de variable:

Cambiamos a y b por la función dentro de la longitud del arco:

A continuación, un par de vídeos para facilitar la comprensión del contenido, en ellos se explican los principios del cálculo de superficies de revolución, sus fórmulas y ejemplos de las mismas.

Fuentes:

https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n

http://es.slideshare.net/WARRIOR2278/area-de-una-superficie-de-revolucion

miércoles, 2 de marzo de 2016

¿Qué es una superficie de revolución?

Superficie de revolución a
partir de una curva (parábola)

Si deseamos calcular el área de una superficie de revolución, previamente debemos conocer el significado de ésta.

No es más que aquella superficie formada por la rotación de una curva (generatriz) en torno a una recta (directriz), llamada eje de rotación, que está situada en el mismo plano que la curva. Se puede imaginar que se desprende una capa externa muy delgada de un cuerpo de revolución y que la corteza se aplana, de esta forma se mide su área.

Algunas superficies de revolución son:

Cilíndrica: Generada por la rotación de una línea recta paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro. La distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
Cónica: Generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto (vértice o ápice), de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
Esférica: Generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
Toroidal: Generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto, a esta superficie se le llama toro.

Tanto los cilindros, conos, esferas y toros son considerados sólidos de revolución. Estás formas geométricas son comunes en nuestras vidas, podemos verlas a diario sin saber que dichas a formas se les llama sólidos de revolución.

Superficie cilíndrica de revolución

Superficie cónica de revolución

Superficie esférica de revolución

Superficie toroidal de revolución